Július Torma se narodil 7. března 1922 v Budapešti, jeho rodiče však pocházeli ze slovenského Štúrova a v Budapešti byli po první světové válce pracovat. Torma začal s boxem pod vedením trenéra Zsigmonda Adlera. Za druhé světové války byl Adler pro svůj židovský původ uvězněn, Torma mu pomohl utéct a skrýval ho. V roce 1946 se Tormova rodina odstěhovala zpátky do Československa a Torma se stal členem klubu ŠK Baťovany.
Na olympijských hrách v Londýně v roce 1948 si Torma ve welterové váze cestou do finále poradil se všemi čtyřmi soupeři a vybojoval pro Československo historicky první boxerské olympijské zlato. Ve finále porazil na body Američana Herringa, ačkoli boxoval se zlomenou kůstkou u palce levé ruky. Následně byl Torma vyhlášen nejlepším boxerem celého turnaje.
Zlato získal i na mistrovství Evropy v Oslu o rok později, v letech 1947 a 1955 vybojoval kontinentální bronz. Na olympijských hrách 1952 v Helsinkách doplatil na přechod do nižší váhové kategorie, ve čtvrtfinále proti pozdějšímu vítězi Poláku Chychlovi mu chyběly síly. Na následujících hrách v Melbourne ukončilo jeho kariéru smolné zranění po náhodném protivníkově úderu.
Během kariéry vybojoval 996 utkání, z toho jen v sedmi prohrál. Po skončení kariéry působil jako trenér v klubu Uhelné sklady Praha.
V ringu vždy platil za gentlemana, svým pojetím boje si vysloužil označení "rytíř kožených rukavic". Po ukončení kariéry trénoval své nástupce v Čechách i na Slovensku. Zemřel v říjnu 1991 ve věku 69 let v Praze.
